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数理方程版课后习题答案

发布时间:2020-05-20 21:33:35 浏览数:

 第一章 曲线论

 §1 向量函数 1. 证明本节命题 3、命题 5 中未加证明的结论。

 略

 2. 求证常向量的微商等于零向量。

 证:设 , 为常向量,因为

 所以 。

  证毕 文档来自于网络搜索

 3. 证明

 证:

 文档来自于网络搜索 证毕 4. 利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。

 文档来自于网络搜索

 证:设 , 为定义在区间 上的向量函数,因为 在区间 上可导当且仅当数量函数 , 和 在区间 上可导。所以,,根据数量函数的 Lagrange 中值定理,有 文档来自于网络搜索

 其中 , , 介于 与 之间。从而 文档来自于网络搜索

  上式为向量函数的 0 阶 Taylor 公式,其中 。如果在区间 上处处有 ,则在区间 上处处有,从而 ,于是 。

 证毕 文档来自于网络搜索

 5. 证明 具有固定方向的充要条件是 。

 证:必要性:设 具有固定方向,则 可表示为 ,其中 为某个数量函数, 为单位常向量,于是 。

 文档来自于网络搜索 充分性:如果 ,可设 ,令 ,其中 为某个数量函数, 为单位向量,因为 ,于是 文档来自于网络搜索

  因为 ,故 ,从而

 文档来自于网络搜索 为常向量,于是, ,即 具有固定方向。

 证毕

 6. 证明 平行于固定平面的充要条件是 。

 证:必要性:设 平行于固定平面,则存在一个常向量 ,使得 ,对此式连续求导,依次可得 和 ,从而 , ,和 共面,因此 。

 文档来自于网络搜索 充分性:设 ,即 ,其中,如果 ,根据第 5 题的结论知, 具有固定方向,则 可表示为 ,其中 为某个数量函数, 为单位常向量,任取一个与 垂直的单位常向量 ,于是作以为法向量过原点的平面 ,则 平行于 。如果 ,则 与 不共线,又由

 可知, , ,和 共面,于是 , 文档来自于网络搜索 其中 , 为数量函数,令 ,那么 ,这说明 与共线,从而 ,根据第 5 题的结论知, 具有固定方向,则 可表示为 ,其中 为某个数量函数, 为单位常向量,作以 为法向量,过原点的平面 ,则 平行于 。

 证毕 文档来自于网络搜索

 §2 曲线的概念

  1. 求圆柱螺线 在点 的切线与法平面的方程。

 解:

 ,点 对应于参数 ,于是当 时, ,文档来自于网络搜索 ,于是切线的方程为:

 法平面的方程为

  2. 求三次曲线 在点 处的切线和法平面的方程。

 解:

 ,当 时, , , 文档来自于网络搜索 于是切线的方程为:

 法平面的方程为

  3. 证明圆柱螺线 的切线和 轴成固定角。

 证:

 令 为切线与 轴之间的夹角,因为切线的方向向量为 ,轴的方向向量为 ,则 文档来自于网络搜索

  证毕

 4. 求悬链线 从 起计算的弧长。

 解:

 5. 求抛物线 对应于 的一段的弧长。

 解:

  6. 求星形线 , 的全弧长。

 解:

  7. 求旋轮线 , 对应于 一段的弧长。

 解:

  8. 求圆柱螺线 从它与 平面的交点到任意点 的弧长。

 文档来自于网络搜索 解:圆柱螺线 与 平面 的交点为 ,交点对应的参数为 ,而 , 文档来自于网络搜索

  9. 求曲线 , 在平面 与平面 之间的弧长。

 解:取 为曲线参数,曲线的向量参数方程为:

 平面 对应于参数 ,平面 对应于参数 ,

  10. 将圆柱螺线 化为自然参数表示。

 解:

 ,因为自然参数

  文档来自于网络搜索

 11. 求极坐标方程 给定的曲线的弧长表达式。

 解:极坐标方程 给定的曲线的方程可化为向量参数形式:

  §3 空间曲线

 1. 求圆柱螺线 在任意点的密切平面的方程。

 解:密切平面的方程为

 即

  2. 求曲线 在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。

 文档来自于网络搜索

 解:

 原点 对应于参数 ,于是在 处,

  密切平面的方程为

 副法线的方程为

 法平面的方程为:

 切线的方程为

 从切平面的方程为

 主法线的方程为

 3. 证明圆柱螺线 的主法线和 轴垂直相交。

 证:

  一方面,主法线的方程为

 另一方面,过圆柱螺线 上任意一点 文档来自于网络搜索 作平面π与 轴垂直,π的方程为 ,π与 轴的交点为 ,过 与 的直线显然与 轴垂直相交,而其方程为 文档来自于网络搜索

 这正是主法线的方程,故主法线和 轴垂直相交。

 证毕

 4.在曲线 的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。

 文档来自于网络搜索 解:令 ,则曲线的方程可表示为:

  设 的副法线向量为 ,则有 文档来自于网络搜索 根据题意,新曲线的方程可表示为 } 将 代入上式,整理后,得

  于是新曲线 的密切平面为:

  即:

  5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。

 证:设曲线 为球心在原点,半径为 的球面上的曲线,其中 为自然参数。曲线( C )上任意一点 P ( P 点的向径为 )处的基本向量为 , , 。则有 文档来自于网络搜索

 上式两边关于 求导,得

 设 为法平面上的点的向径,则曲线( C )上任意一点 P 处的法平面的向量方程为

  根据(2)式

 满足方程(3),故法平面过原点。

 证毕 文档来自于网络搜索

 6. 证明过原点平行于圆柱螺线 的副法线的直线的轨迹是锥面 。

 文档来自于网络搜索 证:

 设过原点 且与 平行的直线上的点为 ,则直线的方程为

 化为参数方程,得

 则有

 这说明直线上的点 都在锥面 上。

 证毕 7. 求下列曲线的曲率和挠率。

 ,

 文档来自于网络搜索 解: 对于曲线(1)

 文档来自于网络搜索

  对于曲线(2)

  8. 给定曲线 ,求(1)基本单位向量 , , ;(2)曲率和挠率;(3)验证伏雷内公式。

 文档来自于网络搜索 解: 对于给定曲线,有

  其中,

 根据(5)(6)(8)式可得 ,根据(6)(9)(10)式,可得 ,又根据(6)式,得

 另一方面,根据(4)(7)(8)(10)式,可得

 从而, 。

 9. 证明:如果曲线的所有切线都经过一个定点,则此曲线是直线。

 证 1:设曲线( C )的向量参数方程为:

 ,其中 为自然参数。( C )上任意一点 P ( P 点的向径为 )处的基本向量为 , , 。因为( C )在 P 点处的切线都经过一定点 Q ( Q 点的向径设为 ),所以 与 共线,进而有 文档来自于网络搜索 (1)

  上式两端关于 求导并利用 Frenet 公式,得:

 (2)

  (2)式中的 为( C )在 P 点处的曲率。又(2)式中 ,这是因为如果

 ,则 同时与 和 共线,但这是不可能的,因为 和 是相互正交的单位向量。从而根据(2)式有 ,即( C )是直线。

 证毕文档来自于网络搜索

 证 2:设曲线的方程为 ) (t r r  ,因为曲线上任一点 r 的切线经过一定点0r ,则0 r r  与"r 共线,但"0") ( r r r   ,于是 0 r r  与"0 ) ( r r  共线,从而 ) ( 0 r r  "0 ) ( r r  =0,由此可知 0 r r  具有固定的方向,即 0 r r  与一个常向量 p 平行,于是 0 r r  = p  ,或 p r r   0 ,这说明曲线上的点 r 都在以 p 为方向向量,过点0r 的直线上,所以曲线为直线。

 证毕 文档来自于网络搜索

 10. 证明:如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,则此曲线是平面曲线。

 证:设曲线( C )的向量参数方程为:

 ,其中 为自然参数。曲线( C )上任意一点 P ( P 点的向径为 )处的基本向量为 , , 。因为我们只研究不含逗留点的曲线(参见教科书 P.31 的脚注),即 , 文档来自于网络搜索 而

 即( C )上任何点的曲率 。

 设( C )在 P 点处的密切平面都经过一个定点 Q ( Q 点的向径设为 ),则 为( C )在 P 点处的密切平面上的一个向量,从而有 文档来自于网络搜索 (1)

  (1) 式两端关于 求导并利用 Frenet 公式,得:

 (2)

 (2)式中的 为( C )在 P 点处的挠率。

 由(2)式可知,

 或者

 但 ,因为如果

 结合(1)式,可知 与 共线,于是

 (3)

 (3)式两端关于 求导并利用 Frenet 公式,得:

 (4)

  (4)式中的 为( C )在 P 点处的曲率。因为 ,所以

 ,结合(3)知同时与 和 共线,但这是不可能的,因为 和 是相互正交的单位向量。

 文档来自于网络搜索 这个矛盾说明 ,于是由(2)式可知,只能 ,曲线( C ) 是平面曲线。

  证毕文档来自于网络搜索

 11. 证明:如果曲线的所有法平面都包含常向量 ,则此曲线是平面曲线。

 证 1:

 设曲线( C )的向量参数方程为:

 ,其中 为自然参数。( C )上任意一点 P ( P 点的向径为 )处的基本向量为 , , 。因为( C )在 P 点处的法平面都包含常向量 ,则有 文档来自于网络搜索 (1)

  注意到

 ,(1)式两端关于 从 到 求积分,得:

 (2)

  (2)式说明曲线( C )在以常向量 为法向量且过点 的平面上。

 证毕 证 2:设曲线( C )的向量参数方程为:

 ,其中 为自然参数。( C )上任意一

 点 P ( P 点的向径为 )处的基本向量为 , , 。因为我们只研究不含逗留点的曲线(参见教科书 P.31 的脚注),即 , 文档来自于网络搜索 而

 即( C )上任何点的曲率 。

 因为( C )在 P 点处的法平面都包含常向量 ,则 (1)

  上式两端关于 求导并利用 Frenet 公式,得:

 (2)

  因为 ,所以 (3)

 , 结合(1)式可知 与 共线,从而 (4)

  (4)式两端关于 求导并利用 Frenet 公式,得:

 (5)

  (5)式中 ,否则,根据(3)式,

 和 将同时成立,即 既与平行,又与 垂直,这是矛盾。于是只能是 ,所以曲线( C ) 是平面曲线。

 证毕 文档来自于网络搜索 12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。

 证:设曲率为常数 的空间曲线( C )的向量参数方程为:

 ,其中 为自然参数。( C )上任意一点 P 处的基本向量为 , , ,曲率半径为 ,又设( C )

 的曲率中心的轨迹为 , 的曲率记为 ,根据题意, 的方程为 文档来自于网络搜索

 (1)式两边关于 求导,得

 (4)式说明 的曲率 也是常数且 。

 证毕文档来自于网络搜索

 13. 证明曲线( C ):

 为平面曲线,并求出它所在平面的方程。

 文档来自于网络搜索 解:

  由上式可知,( C )为平面曲线。

 令 ,则有

 ( C )所在平面的方程为 。

  14. 设在两条曲线 和 的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的切线平行, 证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。

 文档来自于网络搜索 证:设曲线 的方程为 , ,其中 为 的自然参数,曲线 的方程为 , ,其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线,于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系,则对应的参数 与 之间也建立了一一对应关系,从而 文档来自于网络搜索

 设 , ,和 为曲线 在点 处的基本向量, , ,和 为曲线 在点 处的基本向量,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记 为和 。如果两条曲线总保持在对应点 与 处的切线平行,则有 文档来自于网络搜索 ,其中

 (2)式两边关于 求导,得

 从而,

 (4)式说明 和 在对应点 与 处的主法线平行。又因为 ,由(2)式和(4)式,得 文档来自于网络搜索

 (5) 式说明 和 在对应点 与 处的副法线平行。

 证毕

 15. 设在两条曲线 和 的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线总是相互平行,证明它们在对应点的切线成固定角。

 文档来自于网络搜索 证:设曲线 的方程为 , ,其中 为 的自然参数,曲线 的方程为 , ,其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线,于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系,则对应的参数 与 之间也建立了一一对应关系,从而 文档来自于网络搜索

 设 , ,和 为曲线 在点 处的基本向量, , ,和 为曲线 在点 处的基本向量,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记 为和 ,如果两条曲线总保持在对应点 与 处的主法线平行,则有 文档来自于网络搜索 ,其中

 根据(2)式,可得 文档来自于网络搜索 设 与 之间的夹角为 ,则根据(3)式,

 (4)式说明 和 在对应点 与 处的切线成固定角。

  证毕

 16. 如果曲线 的主法线是曲线 的副法线, 的曲率和挠率分别为 和 ,求证

 其中 是常数。

 文档来自于网络搜索 证:设曲线 的方程为 , ,其中 为 的自然参数,曲线 的方程为 , ,其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线,于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系,则对应的参数 与 之间也建立了一一对应关系,从而 文档来自于网络搜索

 设 , ,和 为曲线 在点 处的基本向量, , ,和 为曲线 在点 处的基本向量,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记 为和 。如果曲线 的主法线是曲线 的副法线,依题意,有下面两式成立:

 文档来自于网络搜索 ,其中 。

 (3)式两边关于 求导,得

 整理(4)式,可得

 利用(2)式,在(5)式两边与 作内积,得

 (6)式中由于

 故 ,从而 为常数,(5)式化为

 (7)式两边关于 求导,得

 因为 ,上式两边同时与 作内积,得

 根据(7)式,(9)式等价于

 即

 从而, 。

  证毕 文档来自于网络搜索

 17. 曲线

 在哪些点的曲率半径最大? 解:解: 对于给定曲线,有 文 档来自于网络搜索

 

 其中,

  根据(7)式,当 , 时, 最大。

 18. 已知曲线( C ):

 上一点 的邻近一点 ,求点 到点 的密切平面、法平面的距离(设( C )在点 的曲率和挠率分别为 和 。)

 文档来自于网络搜索 解:设曲线( C )在点 的基本向量分别为 , 和 ,则点

 到点 的密切平面和法平面的距离分别为 文档来自于网络搜索

  其中,

 因为

 , ,

  将它们代入(1)式和(2)式中,得

 19. 如果曲线 :

  为一般螺线,其中 为 的自然参数。

 , , 为上任意一点 P 处的基本向量, 为 在 P 处曲率半径,证明:曲线 :

 文档来自于网络搜索

 也是一般螺线。

 证:曲线 的方程两边关于 求导,得

 根据(1)式和(3)式,得

 其中

 因为曲线 :

  为一般螺线,故存在一个常向量 使得

 从而,

 (8)式说明曲线 也是一般螺线。

  证毕 文档

 来自于网络搜索

 20. 证明:一条曲线( C ):

 为一般螺线的充要条件是 。

 证:充分性:如果 ,则曲线( ):

 的挠率为零,( )为平面曲线,于是存在一个常向量 ,使得 ,但 ,故 ,因为我们只研究不含逗留点的曲线(参见教科书 P.31 的脚注),从而 ,于是 ,即( C ) 为一般螺线。

 文档来自于网络搜索 必 要 性 :

 如 果 ( C ) 为 一 般 螺 线 , 存 在 一 个 常 向 量

 使 得 , 但,从而, ,继续关于 求导,可得:

 , ,于 是 共 面 , 由 此 , 。

  证毕 文档来自于网络搜索

 21. 证明:一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

 证:因为我们只研究不含逗留点的曲线,故所讨论的两条曲线的曲率均不为 0, 设曲线 的方程为 , ,其中 为 的自然参数,曲线 的方程为, ,其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线,于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系,则对应的参数 与 之间也建立了一一对应关系,从而有 文档来自于网络搜索

 设 , ,和 为曲线 在点 处的基本向量, , ,和 为曲线 在点 处的基本向量,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记 为和 。

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 采用反正法来证明结论。如果曲线 在点 的切线总是曲线 的在对应点 处的切线,则点 与 都在这条切线上,从而有 文档来自于网络搜索

 上式两边关于 求导,得

 因为 与 共有同一条切线,于是 ,其中 ,(2)式两边同时与 作内积,得 ,但 ,所以 ,根据(1)式有, ,即 和 重合,这是矛盾。所以,一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证毕文档来自于网络搜索

 22. 设在两条曲线 和 的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的切线平行, 证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行,而且它们的挠率和曲率都成比例,因此如果 是一般螺线,则 也是一般螺线。

 文档来自于网络搜索 证:设曲线 的方程为 , ,其中 为 的自然参数,曲线 的方程为 , ,其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线,于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应,如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系,则对应的参数 与 之间也建立了一一对应关系,从而 文档来自于网络搜索

 设 , ,和 为曲线 在点 处的基本向量, , ,和 为曲线 在点 处的基本向量,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ,曲线 在点 处的曲率和挠率分别记 为和 。如果两条曲线总保持在对应点 与 处的切线平行,则有 文档来自于网络搜索

 ,其中

 (2)式两边关于 求导,得

 从而,

 (4)式说明 和 在对应点 与 处的主法线平行。又因为 ,由(2)式和(4)式,得 文档来自于网络搜索

 (5) 式说明 和 在对应点 与 处的副法线平行。

 由于, , , , , , 都是单位向量,且 与 平行, 与 平行,与 平行,故有 文档来自于网络搜索 ,其中

 ,其中

 ,其中

 (6)式和(8)式两边分别关于 求导,得

  (9)式和(10)式两边取向量的模,得

  从而

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