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高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结

发布时间:2021-07-22 10:22:22 浏览数:

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象与集合的关系是,或者,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 (或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且,则 (4)若且,则 或 真子集 AB (或BA) ,且B中至少有一元素不属于A (1)(A为非空子集) (2)若且,则 集合 相等 A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA (7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 (1) (2) (3) ⑷ Α⊆B⟺A∩B=A 并集 或 (1) (2) (3) ⑷A⊆B⟺A∪B=B 补集 ∁uA ⑴ (∁uA)∩A=∅, ⑵ ∁uA∪A=U, ⑶ ∁u∁uA=A, ⑷ ∁uA∩B=∁uA∪∁uB, ⑸ ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) ⑼ 集合的运算律:
交换律:
结合律: 分配律: 0-1律:
等幂律:
求补律:A∩∁uA=∅ A∪CuA=U ∁uU=∅∁u∅=U 反演律:∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB) ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) 第二章函数 §1函数的概念及其表示 一、映射 1.映射:设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元素,在集合B中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 . 2.象与原象:如果f:A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的 叫做象, 叫做原象。

二、函数 1.定义:设A、B是 ,f:A→B是从A到B的一个映射,则映射f:A→B叫做A到B的 ,记作 . 2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才能称为同一函数。

3.函数的表示法有 、 、 。

§2函数的定义域和值域 一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域:
① 已知函数的解析式,就是 . ② 复合函数f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域:
1.函数y=f (x)中,与自变量x的值 的集合. 2.常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,常用的方法有:①观察法;
②配方法;
③反函数法;
④不等式法;
⑤单调性法;
⑥数形法;
⑦判别式法;
⑧有界性法;
⑨换元法(又分为 法和 法) 例如:① 形如y=,可采用 法;
② y=,可采用 法或 法;
③ y=a[f (x)]2+bf (x)+c,可采用 法;
④ y=x-,可采用 法;
⑤ y=x-,可采用 法;
⑥ y=可采用 法等. §3函数的单调性 一、单调性 1.定义:如果函数y=f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、<x2时,①都有 ,则称f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个 ;
②都有 ,则称f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 . 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为 . 2.判断单调性的方法:
(1) 定义法,其步骤为:① ;
② ;
③ . (2) 导数法,若函数y=f (x)在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则f (x)在这个区间上是增函数;
②若 ,则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若f (x), g(x)均为增(减)函数,则f (x)+g(x) 函数;

2.若f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 ;

3.互为反函数的两个函数有 的单调性;

4.复合函数y=f [g(x)]是定义在M上的函数,若f (x)与g(x)的单调相同,则f [g(x)]为 ,若f (x), g(x)的单调性相反,则f [g(x)]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 . §4函数的奇偶性 1.奇偶性:
① 定义:如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ,则称f (x)为奇函数;
若 ,则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质,则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质,则f (x) . ② 简单性质:
1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称;
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2.与函数周期有关的结论:
①已知条件中如果出现、或(、均为非零常数,),都可以得出的周期为 ;

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线 轴对称,均可以得到周期 第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质 1.正整数指数函数 函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作________指数函数;
形如y=kax(k∈R,a>0,且a≠1)的函数称为________函数. 2.分数指数幂 (1)分数指数幂的定义:给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂,记作b=;

(2)正分数指数幂写成根式形式:=(a>0);

(3)规定正数的负分数指数幂的意义是:=__________________(a>0,m、n∈N+,且n>1);

(4)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aman=________(a>0);

(2)(am)n=________(a>0);

(3)(ab)n=________(a>0,b>0). §3 指数函数(一) 1.指数函数的概念 一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____. 2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0,+∞) 性 质 过定点 过点______,即x=____时,y=____ 函数值 的变化 当x>0时,______;

当x<0时,________ 当x>0时,________;

当x<0时,________ 单调性 是R上的________ 是R上的________ §4 对数(二) 1.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,则:
(1)loga(MN)=________________;

(2)loga=________;

(3)logaMn=__________(n∈R). 2.对数换底公式 logbN=(a,b>0,a,b≠1,N>0);

特别地:logab·logba=____(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). §5 对数函数(一) 1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________.________为常用对数函数;
y=________为自然对数函数. 2.对数函数的图像与性质 定义 y=logax (a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 ______ 值域 ______ 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 共点性 图像过点______,即loga1=0 函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈______;

x∈[1,+∞)时, y∈______. x∈(0,1)时, y∈______;

x∈[1,+∞)时, y∈______. 对称性 函数y=logax与y=x的图像关于______对称 3.反函数 对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数. 第四章 函数应用 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在 2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标. 3.方程f(x)=0有实数根 ⇔函数y=f(x)的图像与x轴有________ ⇔函数y=f(x)有________. 4.函数零点的存在性的判定方法 如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)____0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 1.2 利用二分法求方程的近似解 1.二分法的概念 每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来_________________________________________________________________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε) (1)确定区间[a,b],使____________. (2)求区间(a,b)的中点,x1=__________. (3)计算f(x1). ①若f(x1)=0,则________________;

②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));

③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). (4)继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.

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