注册
当前位置: 首页> 讲话发言> 就职演说>

2020届1月市一模数学(理)试题(解析版)

发布时间:2021-04-06 20:05:21 浏览数:

2020届1月市一模数学(理)试题 一、单选题 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先求出集合和集合,由此即可得到结论. 【详解】 由题意,, ∴. 故选:B. 【点睛】 本题考查交集的求法,交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 2.计算( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用复数的运算法则即可得出. 【详解】 由复数的运算法则可得:. 故选:D. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.已知直线平面,则“直线”是“”的(  ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】当且时,我们可以得到或(因为直线与平面的位置关系不确定),所以充分性不成立;当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选. 4.上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班,其中含列车在车站停留的分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据几何概型的概率计算问题,求出对应时间的比即可. 【详解】 每分钟一班列车,其中列车在车站停留分钟,根据几何概型概率公式可得,该乘客到达站台立即能乘上车的概率为. 故选:C. 【点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题,对应时间的比值是解题关键,属于基础题. 5.《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈”,其意思为:现一善于织布的女子,从第天开始,每天比前一天多织相同量的步(不变的常量),第天织了五尺,一个月(按天计算)共织九匹三丈(一匹四丈,一丈十尺),则该女子第天比第天多织布的尺数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设该女子第一天织布为,利用等差数列即可得到结论. 【详解】 记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则,,则,. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查等差数列的计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用,属于基础题. 6.已知函数是一个求余数函数,表示除以的余数,例如.如图是某个算法的程序框图,若输入的值为,则输出的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】模拟执行程序框图,根据题意,大于的约数有:共个,即可得解. 【详解】 模拟执行程序框图,可得:
,,, 满足条件,,;

满足条件,,;

满足条件,,;

满足条件,,;

… ,可得程序框图的功能是统计大于的约数的个数,由于约数有:共个,故. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的的值是解题的关键,属于基础题. 7.已知是不共线的向量,,,,若三点共线,则满足( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用三点共线,即可得到结论. 【详解】 由三点共线,得, 是不共线的向量,,, . 故选:B. 【点睛】 本题考查了三点共线,向量共线定理,属于基础题. 8.已知变量满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】确定不等式表示的平面区域,明确目标函数的几何意义,即可求得最大值. 【详解】 画出表示的可行域,如图, 平移直线,当直线经过点时,直线截距最小,最大, 所以,最大值为, 故选:A. 【点睛】 本题考查线性规划知识,考查数形结合的数学思想,考查学生的计算能力,属于基础题. 9.已知函数在上最大值为且递增,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用正弦函数的单调性求得的最值,进而可得的最值. 【详解】 由题意可知,,,,,则,. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象和性质,不等式的解法,属于基础题. 10.已知,不等式对成立,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易证是奇函数且在上单调递减,利用函数性质得不等式,进而解得即可. 【详解】 ,是奇函数且在上单调递减, 不等式即:, 结合函数的单调性可得:,,,所以. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立问题,利用奇函数的性质得不等式是关键,属于中档题. 11.在直角坐标系中,分别是双曲线的左、右焦点,点是双曲线右支上的一点,满足,若点的横坐标取值范围是,则双曲线的离心率取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由可计算得,再利用即可得离心率的取值范围. 【详解】 由可得,,,,,由于,所以,,,,,. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查了双曲线的简单性质,向量数量积的运算,考查计算能力,属于中档题. 12.已知对任意实数都有,,若不等式(其中)的解集中恰有两个整数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由,得,进而得,再根据图像比较点与四个点,,,连线的斜率,即可得到答案. 【详解】 由,得, 故,在取得极小值, 根据图像,欲使解集中恰有两个整数,则比较点与四个点,,,连线的斜率,由可得. 故选:C. 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题 13.若直线是抛物线的一条切线,则__________. 【答案】 【解析】根据题意,联立方程即可得到答案. 【详解】 联立直线和抛物线得到. 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题. 14.一个棱长为的正方体中有一个实心圆柱体,圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上,侧面与正方体的侧面相切,则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为__________. 【答案】 【解析】在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球,即为放置的球与正方体相切与圆柱体也相切,过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图,利用几何关系计算即可. 【详解】 如图,过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图, 设球的半径为,则圆柱体底面圆半径,正方形的边长为,由题意可得, ,解得,即最大球的半径为. 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查球的半径的求法,几何图形的转化,属于基础题. 15.已知等比数列的前项和为,且,则__________. 【答案】 【解析】由等比数列前项和的通项公式得,进而可得比值. 【详解】 等比数列的前项和为,由已知,可知,则. 故答案为:. 【点睛】 本题考查等比数列前项和的代数表达式,利用等比数列的定义是关键,属于基础题. 16.一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发,每次从一个顶点爬行到另一个顶点,则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________. 【答案】 【解析】方法一:根据题意,蚂蚁第一次爬行可以到的任何一点,再利用第二次爬行到与不到进行分类计算,依次计算即可;

方法二:设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为,由题意得递推关系,进而可得结论. 【详解】 解法一:第一次爬行可以到的任何一点,第二次爬行分到与不到,对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到.爬行方法总数为(种). 解法二:设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为,则,,, , ,.(亦可由递推式从第二项递推出第五项的值) 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查了计数原理的应用,构造数列,利用递推关系解决问题,属于中档题. 三、解答题 17.已知,的内角的对边分别为,为锐角,且. (1)求角的大小;

(2)若,,求的面积. 【答案】(1);
(2). 【解析】(1)利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简,将代入即可得到答案;

(2)利用余弦定理求得的值,代入三角形面积公式求得三角形的面积. 【详解】 (1)函数 , 由得:, 为锐角, , ;

(2)由余弦定理有, ,,, , , . 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用,要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用,属于基础题. 18.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,是等边三角形,侧面底面,,,,点、点分别在棱、棱上,,,点是线段上的任意一点. (1)求证:平面;

(2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析;
(2). 【解析】(1)先证平面,再证平面,进而可得平面平面,即可得到答案;

(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,取平面的法向量,利用向量法求出二面角即可. 【详解】 (1)连接,由,得 平面 且,又, 则四边形为平行四边形, 故,平面 又 面面, 又面 平面. (2)如图,以中点为原点,的中垂线为轴,直线为轴,过于平行的直线为轴,建立空间直角坐标系 则面的其中一个法向量, 设面的一个法向量 又,, , ,令得, 则 故二面角的大小为. 【点睛】 本题考查了线面平行的判定,利用向量法求法向量,求二面角的大小,属于中档题. 19.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照,,,,分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;
当时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种. (1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:
受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 (2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于的贫困户中,随机选取两户,用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求的分布列和数学期望. 附:,其中. 【答案】(1)列联表见解析,有;
(2)分布列见解析,. 【解析】(1)根据题意填写列联表,计算,对照临界值得出结论;

(2)根据题意可得贫困指标在的贫困户共有(户),“亟待帮助户”共有(户), 则的可能值为,,,列出分布列,计算期望值即可. 【详解】 (1)由题意可知,绝对贫困户有(户),可得出如列联表:
受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 . 故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关. (2)贫困指标在的贫困户共有(户), “亟待帮助户”共有(户), 依题意的可能值为,,, ,, , 则的分布列为 故. 【点睛】 本题考查了列联表与独立性检验应用问题,也考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题. 20.已知椭圆的离心率为,其右顶点为,下顶点为,定点,的面积为,过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点,直线分别与轴交于两点. (1)求椭圆的方程;

(2)试探究的横坐标的乘积是否为定值,说明理由. 【答案】(1);
(2)是,理由见解析. 【解析】(1)求出,代入即可;

(2)设直线的方程为,,的坐标分别为,求出,的横坐标,,利用直线和椭圆联立,由韦达定理得,,即可求出. 【详解】 (1)由已知,的坐标分别是由于的面积为, ,又由得, 解得:,或(舍去), 椭圆方程为;

(2)设直线的方程为,的坐标分别为 则直线的方程为,令,得点的横坐标 直线的方程为,令,得点的横坐标 把直线代入椭圆得 由韦达定理得, ∴,是定值. 【点睛】 本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的综合,圆锥曲线的定值问题,属于中档题. 21.已知函数. (1)当时,求函数的单调区间;

(2)设,当时,对任意,存在,使得,求实数的取值范围. 【答案】(1)当时,单调减区间是,单调增区间是,;
当时,单调增区间是,没有单调减区间;
(2). 【解析】(1)先求函数的定义域,利用函数的导函数,得或,当时,分,讨论即可得到答案;

(2)当时,由(1)知在上单调递减,在上单调递增, 从而在上的最小值为,由题意得,即,令,求新函数的最大值即可得实数的取值范围. 【详解】 (1)函数的定义域为, , 由,得或. 当即时,由得, 由得或;

当即时,当时都有;

当时,单调减区间是,单调增区间是,;

当时,单调增区间是,没有单调减区间. (2)当时,由(1)知在上单调递减,在上单调递增, 从而在上的最小值为. 对任意,存在,使得, 即存在,使的值不超过在区间上的最小值. 由,. 令,则当时,. , 当时;
当时,,. 故在上单调递减, 从而, 从而. 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22.在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为. (1)求圆的直角坐标方程;

(2)若直线与圆交于两点,定点,求的值. 【答案】(1);
(2). 【解析】(1)由,,即可得到圆的直角坐标方程;

(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,化简整理,再由韦达定理和的几何意义,即可求得. 【详解】 (1)将代入,得:, 即圆的直角坐标方程为;

(2)设点对应的参数为, 把直线l的参数方程代入, 得:
化简得, , . 【点睛】 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,同时考查直线与圆的位置关系,考查直线参数方程的运用,属于基础题. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知实数正数x, y满足. (1)解关于x的不等式;

(2)证明:
【答案】(1).(2)见解析. 【解析】(1)利用零点分段法即可求解. (2)利用“1”的转换,以及基本不等式即可证明. 【详解】 (1) 解得,所以不等式的解集为 (2)解法1:
且, . 当且仅当时,等号成立. 解法2:
且, 当且仅当时,等号成立. 【点睛】 主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用,属于中档题.对于绝对值不等式的求解,主要运用零点分段法,也可以运用图像法.而不等式的证明,关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.

上一篇:廉政党课讲稿:筑牢廉政思想根基,做到忠诚干净担当

上一篇:思政课教师教学心得感悟总结

相关范文