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初中数学课件,,等腰三角形的性质

发布时间:2021-07-20 20:05:55 浏览数:

专题16 等腰三角形的性质 阅读与思考 等腰三角形是一类特殊三角形,具有特殊的性质,这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据.因此,在解与等腰三角形相关的问题时,除了要运用全等三角形知识方法外,又不能囿于全等三角形,应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径,应熟悉以下基本图形、基本结论. ⑴ 图1中,,,. ⑵ 图2中,只要下述四个条件:
①;
②;
③;
④中任意两个成立,就可以推出其余两个成立. B C A D 图1 A D B C 1 2 图2 例题与求解 【例1】如图,在△ABC中,D在AC上,E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE, 则∠A=___________. (五城市联赛试题) 解题思路:图中有很多相关的角,用∠A的代数式表示这些角,建立关于∠A的等式. A B C D E 【例2】如图,在△ABC中,已知∠BAC=900,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF. (安徽省竞赛试题) 解题思路:∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等,因此,需构造全等三角形,而在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线. A B C D E F 【例3】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,又AE=BD,求证:BD是∠ABC的角平分线. (北京市竞赛试题) 解题思路:∠ABC的角平分线与AE边上的高重合,故应作辅助线补全图形,构造全等三角形、等腰三角形. A E B C D 【例4】如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=440,M为△ABC内一点,使∠MCA=300,∠MAC=160,求∠BMC度数. (北京市竞赛试题) B C M A B C M A 图3 N 解题思路:作等腰△ABC的对称轴(如图1),通过计算,证明全等三角形,又440+160=600;
可以AB为一边,向点C所在的一侧作等边△ABN,连结CN,MN(如图2);
或以AC为一边,向点B所在的一侧作等边△ACN,连结BN(如图3). B C M A 图1 D O B C M A 图2 N 【例5】如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形,以D为顶点作一个600角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成一个三角形.求证:△AMN的周长等于2. (天津市竞赛试题) 解题思路:欲证△AMN的周长等于2,只需证明MN=BM+CN,考虑用补短法证明. B A C D N M 【例6】如图,△ABC中,∠ABC=460,D是BC边上一点,DC=AB,∠DAB=210,试确定∠CAD的度数. (北京市竞赛试题) 解题思路:解本题的关键是利用DC=AB这一条件. B D C A 能力训练 A级 1.如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450,那么这个等腰三角形的底角为_____________. 2.如图,已知∠A=150,AB=BC=CD=DE=EF,则∠FEM=_____________. 3.如图,在等边△ABC的AC,BC边上各取一点P、Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O,则 ∠BOQ=____________. 4.如图,在△ABC中,∠BCA=900,∠BAC=600,BC=4,在CA的延长线取点D,使AD=AB,则D,B两点之间的距离是____________. (第2题) B A C D E F M N A B C Q P O (第3题) A B C D (第4题) 5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于( ) A.900-∠A B.900-∠A C.1800-∠A D.450-∠A 6.如图,在△ABC中,∠ACB=900,AC=AE,BC=BF,则∠ECF=( ) A.600 B.450 C.300 D.不确定 (安徽省竞赛试题) A C B E F 第5题图 第6题图 7.△ABC的一个内角的大小是400,且∠A=∠B,那么∠C的外角的大小是( ) A.1400 B.800或1000 C.1000或1400 D.800或1400 (“希望杯”邀请赛试题) 8.三角形三边长,,满足,则三角形一定是( ) A.等边三角形 B.以为底边的等腰三角形 C.以为底边的等腰三角形 D.等腰三角形 (北京市竞赛试题) 9.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是腰AB,AC延长线上的点,且BD=CE,连结DE交BC于G,求证:DG=EG. (湖北省竞赛试题) A B C D G E 10.如图,在△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:CE=BD. (江苏省竞赛试题) A B C D E 11.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=900,D为AB边中点,∠EDF=900,将∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC,BC(或它们的延长线)于E、F,当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证:S△DEF+S△CEF=S△ABC,当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;
若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明. (牡丹江市中考试题) A B C A B C A B C E D F E D F D F 图1 图2 图3 12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=800,O为△ABC内一点,且∠OBC=100,∠OCA=200,求∠BAO的度数. (天津市竞赛试题) B级 1.如图,在△ABC中,∠ABC=1000,AM=AN,CN=CP,则∠MNP=_________. A B C N M P (第1题) A B C P E F (第2题) A B C N M (第3题) 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下4个结论:①AE=CF;
②△EPF是等腰直角三角形;
③S四边形AEPF=S△ABC;
④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合).上述结论正确的是____________. (苏州市中考试题) 3.如图,在△ABC中,AB=BC,M,N为BC边上两点,并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,则∠MAC的度数是____________. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于D,∠ADC=1300,那么∠CAB的大小是( ) A.800 B.500 C.400 D.200 A (第4题) B C D (第5题) A B C D A B D E C M (第6题) 5.如图,在△ABC中,∠BAC=1200,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是( ) A.200 B.250 C.300 D.450 6.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DM⊥AC交AC的延长线于M,连CD,下列四个结论:①∠ADC=450;
②BD=AE;
③AC+CE=AB;
④AB-BC=2MC.其中正确结论的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,并且使AE=BD,连结CE、DE,求证:CE=DE. A B C D E 8.如图,△ABC中,已知∠C=600,AC>BC,又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC. ⑴ 证明:△C′BD≌△B′DC;

⑵ 证明:△AC′D≌△DB′A;

⑶ 对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C,从面积大小关系上,你能得出什么结论? (江苏省竞赛试题) A B C D A′ B′ C′ 9.在△ABC中,已知AB=AC,且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC各内角的度数. (江苏省扬州中学测试题) 10.如图,在△ABC中,∠C=900,∠CAD=300,AC=BC=AD,求证:CD=BD. A B C D 11.已知△ABC中,∠B为锐角,从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点,又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K,试问:当,是整数时,△ABC是怎样的三角形?并证明你的结论. (“智能杯”通讯赛试题)

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