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大学,高等数学,竞赛训练,极限

发布时间:2021-02-21 20:09:07 浏览数:

大学生数学竞赛训练一(极限) 一、 计算 解:因为 原式 又因为 所以。

二、 计算 解:因为 所以。

三、 计算 解:设,则 因为,所以 。

四、 计算 解:因为 ,所以 五、 设数列定义如下 证明:极限。

证明:方法一、 考虑函数,因为,当时,。

由此可得时,在上的最大值为,且在是递增的。所以 …… …… …… …… 由于,,所以数列是单调有界的,由单调有界准则可得存在。显然,。

现证明,用反证法证明,设,且, 取,因为,所以存在整数,当时有 由此可得正项级数收敛;

另一方面,由,级数发散,由比较判别法,正项级数发散,这是一个矛盾,所以。

方法二、 考虑函数,因为,当时,。

由此可得时,在上的最大值为,且在是递增的。所以 …… …… …… …… 由夹逼准则可得,,又因为 所以数列是单调递增的,利用斯托尔茨定理 。

六、 设函数在区间上有定义,且在每一个有限区间上是有界的,如果,证明:
证明:对于任取的,因为,所以存在 当时,有 取,令,则有 因为 …… …… 所以 由于在每一个有限区间上是有界的,所以存在,当时有 取,当时有 由此可得。

七、

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